（2013•娄底）如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．（1）求证：AHAD＝EFBC；（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并

Question

（2013•娄底）如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：(AH)/(AD)＝(EF)/(BC)；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵四边形EFPQ是矩形，AH是高，
∴EF∥BC，
∴△AHF∽△ADC，
∴(AH)/(AD)＝(AF)/(AC)，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴(EF)/(BC)＝(AF)/(AC)，
∴(AH)/(AD)＝(EF)/(BC)．

（2）∵∠B=45°，
∴BD=AD=4，
∴CD=BC-BD=5-4=1．
∵EF∥BC，
∴△AEH∽△ABD，
∴(AH)/(AD)＝(EH)/(BD)，
∵EF∥BC，
∴△AFH∽△ACD，
∴(AH)/(AD)＝(HF)/(CD)，
∴(EH)/(BD)＝(HF)/(CD)，即(EH)/(4)＝(HF)/(1)，
∴EH=4HF，
已知EF=x，则EH=(4)/(5)x．
∵∠B=45°，
∴EQ=BQ=BD-QD=BD-EH=4-(4)/(5)x．
S_矩形EFPQ=EF•EQ=x•（4-(4)/(5)x）=-(4)/(5)x²+4x=-(4)/(5)（x-(5)/(2)）²+5，
∴当x=(5)/(2)时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5．

（3）由（2）可知，当矩形EFPQ的面积最大时，矩形的长为(5)/(2)，宽为4-(4)/(5)×(5)/(2)=2．
在矩形EFPQ沿射线AD的运动过程中：
（I）当0≤t≤2时，如答图①所示．

设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD分别交于点H₁，D₁．
此时DD₁=t，H₁D₁=2，
∴HD₁=HD-DD₁=2-t，HH₁=H₁D₁-HD₁=t，AH₁=AH-HH₁=2-t，．
∵KN∥EF，
∴(KN)/(EF)＝(AH1)/(AH)，即(KN)/((5)/(2))＝(2−t)/(2)，得KN=

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