如图，正方形ABCD中，点E是BC上一点，直线AE交BD于点M，交DC的延长线于点F，G是EF的中点，连结CG．求证：①△ABM≌△CBM；②CG⊥CM．

Question

如图，正方形ABCD中，点E是BC上一点，直线AE交BD于点M，交DC的延长线于点F，G是EF的中点，连结CG．求证：
①△ABM≌△CBM；
②CG⊥CM．

Answer 1

证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABM=∠CBM，
在△ABM和△CBM中，

AB=BC

∠ABM=∠CBM

BM=BM

，
∴△ABM≌△CBM（SAS），

②∵△ABM≌△CBM，
∴∠BAM=∠BCM，
∵∠ECF=90°，G是EF的中点，
∴GC=GF，
∴∠GCF=∠F，
又∵AB∥DF，
∴∠BAM=∠F，
∴∠BCM=∠GCF，
∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°，
∴GC⊥CM．