ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上的一点．AF交ED于G，EC交FB于H．连接线段GH并延长交AD于L，交BC于M．求证：DL=BM．

Question

ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上的一点．AF交ED于G，EC交FB于H．连接线段GH并延长交AD于L，交BC于M．求证：DL=BM．

Answer 1

证明：如图，设直线LM与BA的延长线交于点J，与DC的延长线交于点I．
在△ECD与△FAB中分别使用梅涅劳斯定理，
得(EG)/(GD)•(DI)/(IC)•(CH)/(HE)=1，(AG)/(GF)•(FH)/(HB)•(BJ)/(JA)=1，
∵AB∥CD，
∴(EG)/(GD)=(AG)/(GF)，(CH)/(HE)=(FH)/(HB)．
从而(DI)/(IC)=(BJ)/(JA)，即(CD+CI)/(CI)=(AB+AJ)/(AJ)，
∴CI=AJ．而(BM)/(MC)=(BJ)/(CI)=(DI)/(AJ)=(DL)/(LA)，且BM+MC=BC=AD=AL+LD．
∴BM=DL．