（2013•北京）给定数列a1，a2，…，an．对i=1，2，…，n-1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n-i项ai+1，ai+2，…，an的最小值记为Bi，di=Ai-Bi．（Ⅰ）设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；

Question

（2013•北京）给定数列a₁，a₂，…，a_n．对i=1，2，…，n-1，该数列前i项的最大值记为A_i，后n-i项a_i+1，a_i+2，…，a_n的最小值记为B_i，d_i=A_i-B_i．
（Ⅰ）设数列{a_n}为3，4，7，1，写出d₁，d₂，d₃的值；
（Ⅱ）设a₁，a₂，…，a_n-1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a₁＞0．证明：d₁，d₂，…，d_n-1是等比数列；
（Ⅲ）设d₁，d₂，…，d_n-1是公差大于0的等差数列，且d₁＞0．证明：a₁，a₂，…，a_n-1是等差数列．

Answer 1

（Ⅰ）当i=1时，A₁=3，B₁=1，故d₁=A₁-B₁=2，同理可求d₂=3，d₃=6；
（Ⅱ）由a₁，a₂，…，a_n-1（n≥4）是公比q大于1的等比数列，且a₁＞0，则{a_n}的通项为：a_n=a₁q^n-1，且为单调递增的数列．
于是当k=1，2，…n-1时，d_k=A_k-B_k=a_k-a_k+1，
进而当k=2，3，…n-1时，(dk)/(dk-1)=(ak-ak+1)/(ak-1-ak)=(ak(1-q))/(ak-1(1-q))=q为定值．
∴d₁，d₂，…，d_n-1是等比数列；
（Ⅲ）若d₁，d₂，…，d_n-1是公差大于0的等差数列，则0＜d₁＜d₂＜…＜d_n-1．
先证明a₁，a₂，…，a_n-1是单调递增数列．
否则设a_k是第一个使得a_k≤a_k-1成立的项，则A_k-1=A_k，B_k-1≤B_k，因此d_k-1=A_k-1-B_k-1≥A_k-B_k=d_k，矛盾．
因此a₁，a₂，…，a_n-1是单调递增数列…①
再证明a_m为数列{a_n}中的最小项，否则设a_k＜a_m（k=1，2，…n-1），显然k≠1，否则d₁=A₁-B₁=a₁-B₁≤a₁-a₁=0，与d₁＞0矛盾；
因而k≥2，此时考虑d_k-1=A_k-1-B_k-1=a_k-1-a_k＜0，矛盾．
因此a_m为数列{a_n}中的最小项，…②
综合①②d_k=A_k-B_k=a_k-a_m（k=1，2，…n-1），于是a_k=d_k+a_m，也即a₁，a₂，…，a_n-1是等差数列．