计算二重积分∬D（x+y2）dσ，其中D={（x，y）|x2+y2≤2x+2y}．

Question

计算二重积分

∬

D

（x+y²）dσ，其中D={（x，y）|x²+y²≤2x+2y}．

Answer 1

令u=x-1，v=y-1，则D={（x，y）|x²+y²≤2x+2y}={（u，v）|u²+v²≤2}，
从而，

∬

D

(x+y2)dxdy=

∬

u2+v2≤2

(u+v2+2v+2)dudv．
因为D关于u，v轴均对称，u为关于u的奇函数，2v为关于v的奇函数，
故

∬

u2+v2≤2

ududv=

∬

u2+v2≤2

2vdudv=0． 
由二重积分的几何意义可得，

∬

u2+v2≤2

2dudv=4π．
因为

∬

u2+v2≤2

v2dudv=

∬

u2+v2≤2

u2dudv，
故

∬

u2+v2≤2

v2dudv=(1)/(2)

∬

u2+v2≤2

(u2+v2)dudv．
利用极坐标系计算可得，

∬

u2+v2≤2

v2dudv=(1)/(2)

∬

u2+v2≤2

(u2+v2)dudv
=(1)/(2)

∫

2π 0

dθ

∫

√(2) 0

r3dr
=π．
综上可得，

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