已知数列an,a1=2,an+1=(an^2+2)/2an,求数列an的通项公式根号2是怎么出来的呢

Question

已知数列an,a1=2,an+1=(an^2+2)/2an,求数列an的通项公式
根号2是怎么出来的呢

Answer 1

等式两边同时加上√2
则原式可化为
a(n+1)+√2=(an+√2)^2/2an ①
等式两边同时减去√2
则原式可化为
a(n+1)-√2=(an-√2)^2/2an ②
两式相除得
[a(n+1)+√2]/[a(n+1)-√2]=[(an+√2)/(an-√2)]^2
因为a1=2,所以(a1+√2)/(a1-√2)=(2+√2)/(2-√2)=3+2√2
所以[(an+√2)/(an-√2)]=(3+2√2)^[2^(n-1)]
所以an=2√2/{(3+2√2)^[2^(n-1)] -1} +√2 (n∈N*)
雨滴计算用百度搜索得到的答案,同学了.