△ABC中，D为线段BC的中点，AB=2AC=2，tan∠CAD=sin∠BAC，则BC=．

Question

△ABC中，D为线段BC的中点，AB=2AC=2，tan∠CAD=sin∠BAC，则BC=___．

Answer 1

如图，设∠CAD=α，∠BAD=β，则∠CAB=α+β．
则有(CD)/(sinα)=(AC)/(sin∠ADC)，(DB)/(sinβ)=(AB)/(sin∠ADB)，且sin∠ADC=sin∠ADB，AB=2AC，可得sinα=2sinβ．
由题意知tan∠CAD=sin∠CAB，即tanα=sin（α+β）．
切化弦可得(sinα)/(cosα)=sin(α+β)，
故sinα=sin（α+β）•cosα，从而可得2sinβ=sin（α+β）•cosα，
利用角的变形可得2sin[（α+β）-α]=sin（α+β）•cosα，
展开得sin（α+β）•cosα=2cos（α+β）•sinα，两边同除以cosα（cosα≠0）
可得sin（α+β）=2cos（α+β）•tanα，又因为tanα=sin（α+β），
化简得2cos（α+β）=1，故cos(α+β)=(1)/(2)．
所以BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos（α+β）=3，故BC=√(3)．
故答案为：√(3)