x+x^2+x^4+x^8+……+x^2^n该如何求和呢?就是X的指数部分是一个等比数列.1.如果能像等差数列,等比数列那样给一个求和公式是最好不过了；2.如果不能求和,能否给一个近似的估值表达式?3.这类问

Question

x+x^2+x^4+x^8+……+x^2^n 该如何求和呢?就是X的指数部分是一个等比数列.
1.如果能像等差数列,等比数列那样给一个求和公式是最好不过了；
2.如果不能求和,能否给一个近似的估值表达式?
3.这类问题有哪方面的资料可供参考?

Answer 1

你好!
“数学之美”团员448755083为你解答!
变量代换
tn = lnx^(2^n) = (2^n)lnx
关键步骤：e^x 的幂级数
an = x^(2^n) = e^(tn) = 1 + tn + (tn)^2/2! + (tn)^3/3! + ... + (tn)^n/n! + ...
a0 = e^(t0) = 1 + lnx + (lnx)^2/2! + (lnx)^3/3! + ... + (lnx)^n/n! + ...
a1 = e^(t1) = 1 + (2lnx) + (2lnx)^2/2! + (2lnx)^3/3! + ... + (2lnx)^n/n! + ...
a2 = e^(t2) = 1 + (4lnx) + (4lnx)^2/2! + (4lnx)^3/3! + ... + (4lnx)^n/n! + ...
...
an = e^(tn) = 1 + [(2^n)lnx] + [(2^n)lnx]^2/2! + [(2^n)lnx]^3/3! + ... + [(2^n)lnx]^n/n! + ...
Sn = n +
[2^(1×0) + 2^(1×1) + 2^(1×2) + 2^(1×3) +...+ 2^(1×n)]·(lnx)^1/1! +
[2^(2×0) + 2^(2×1) + 2^(2×2) + 2^(2×3) +...+ 2^(2×n)]·(lnx)^2/2! +
[2^(3×0) + 2^(3×1) + 2^(3×2) + 2^(3×3) +...+ 2^(3×n)]·(lnx)^3/3! +
...
[2^(n×0) + 2^(n×1) + 2^(n×2) + 2^(n×3) +...+ 2^(n×n)]·(lnx)^n/n! +
...
n≥1
数列2^(n×0) + 2^(n×1) + 2^(n×2) + 2^(n×3) +...+ 2^(n×n)是首项为1,公比为2^n的等比数列
前n项和公式为An=[1-(2^n)^n]/(1-2^n)
因此可得
Sn
= n + A1·(lnx)^1/1! + A2·(lnx)^2/2! + A3·(lnx)^3/3! + .
= n + ∑An·(lnx)^n/n!
这个题目的关键在于想办法将单项的乘方提出来作为系数才能求和.
尽管如此,还是只能用无穷级数来表示,代入具体数字求的时候取前面若干项进行计算得到近似值.
至于资料吗,我也没有,就是自己做出来的 = _ = ~
如果推导有问题可以再向我反馈.
如满意,请采纳,并加赞同；
不满意,请反馈,“数学之美”与你共同进步!