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求函数y=X+√X(2-x)的值域.
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求函数y=X+√X(2-x) 的值域.
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答案和解析
函数定义域为[0,2]
y-x＝√x(2-x)
两边平方 y²-2yx＋x²＝2x-x²
2x²-2(y＋1)x＋y²＝0 ①
由函数定义域得①式在[0,2]上有解,
下面讨论
⑴当(y＋1)/2＜0时,即y＜-1,
有f(0)≤0,
f(2)≥0,
得 y无解,
⑵当0≤(y＋1)/2≤2,即-1≤y≤3时,
只要△≥0,
得1-√2≤y≤1＋√2
⑶当(y＋1)/2＞2,即y＞3时,
有f(2)≤0
得y无解,
∴综上所述,y的取值范围为[1-√2,1＋√2],即值域.
y-x＝√x(2-x)
两边平方 y²-2yx＋x²＝2x-x²
2x²-2(y＋1)x＋y²＝0 ①
由函数定义域得①式在[0,2]上有解,
下面讨论
⑴当(y＋1)/2＜0时,即y＜-1,
有f(0)≤0,
f(2)≥0,
得 y无解,
⑵当0≤(y＋1)/2≤2,即-1≤y≤3时,
只要△≥0,
得1-√2≤y≤1＋√2
⑶当(y＋1)/2＞2,即y＞3时,
有f(2)≤0
得y无解,
∴综上所述,y的取值范围为[1-√2,1＋√2],即值域.
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