求函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上的最大值g（a）

Question

求函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上的最大值g（a）

Answer 1

f′(x)=-2x+2a＜0,则：x＞a时单减
∴讨论①当a＞3时：f(x)在[1,3]上单增∴函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上的最大值g(a)=g(3)=6a-12∈（6,＋∞）
②当a＜1时：f(x)在[1,3]上单减∴函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上的最大值g(a)=g(1)=2a-4∈（－∞,－2）
③当1≤a≤3时：函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上的最大值g(a)=g(a)=a²-3 ∈[－2,6]
综上所述：当且仅当a＞3时,函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上有最大值g(a)=g(3)=6a-12＞6