1+4分之3+4的2次方分之5+4的3次方分之7+…+4的11次方分之23

Question

1+4分之3+4的2次方分之5+4的3次方分之7+…+4的11次方分之23

Answer 1

由题意得通项an=(2n-1)/4^(n-1)=2n/4^(n-1)-1/4^(n-1)=bn-cn
对cn,有s'n=(1-1/4^n)/(1-1/4)=4/3(1-1/4^n)
对bn,有s''n=2*1/4^0+2*2/4^1.+2n/4^(n-1)
4s''n=2*1/4^1.+2(n-1)/4^(n-1)+2n/4^n
3s''n=-2[1/4^0+1/4^1.1/4^(n-1)]+2n/4^n
=-8/3(1-1/4^n)+2n/4^n
s''n=-8/9(1-1/4^n)+2n/(3*4^n)
所以sn=s''n-s'n=-20/9(1-1/4^n)+2n/(3*4^n)
代入n=12,有s12==-20/9(1-1/4^12)+8/4^12