分解多项式.x^4+1=0.要所有的factors,包裹虚数根的.请把过程写出来,因为不是很懂怎么找虚数根,

Question

分解多项式.x^4 + 1 =0 .要所有的factors,包裹虚数根的.
请把过程写出来,因为不是很懂怎么找虚数根,

Answer 1

设方程x^4 + 1 =0的根为a+bi,a,b∈R,则
(a+bi)^4+1=0,所以
(a^4-6a^2b^2+b^4+1)+(4a^3b-4ab^3)i=0,所以
a^4-6a^2b^2+b^4+1=0 （1）
4a^3b-4ab^3=0 （2）
由(2)得,
4ab(a+b)(a-b)=0,所以
a=0或 b=0或 a=b或 a=-b
把a=0或b=0代入(1)得,方程无解.
把a=b代入(1)得,
a=b=√2/2或a=b=-√2/2
把a=-b代入(1)得,
a=√2/2,b=-√2/2或a=-√2/2,b=√2/2
所以方程x^4 + 1 =0的解为：
x1=√2/2+√2/2i
x2=-√2/2-√2/2i
x3=√2/2-√2/2i
x4=-√2/2+√2/2i