已知y=4-x^2的平方在第一象限内求在函数y上的点p使得过点p的切线与坐标轴围成的三角形面积最小.很久没碰数学了都忘光了.可能要用到高数的知识,但我觉得高中数学应该也学到过.

Question

已知y=4-x^2 的平方 在第一象限内求在函数y上的点p使得过点p的切线 与坐标轴围成的三角形面积最小.
很久没碰数学了 都忘光了.
可能要用到高数的知识,但我觉得高中数学应该也学到过.

Answer 1

y=4-x^2
y'=-2x
设P坐标是(xo,yo),(xo,yo>0),那么切线的斜率k=y'=-2xo
切线方程是y-yo=-2xo(x-xo)
yo=4-xo^2
y-(4-xo^2)=-2xox+2xo^2
y=-2xox+4+xo^2
令x=0得到y=4+xo^2,令y=0,得到x=(4+xo^2)/(2xo)
S=1/2*(4+xo^2)*(4+xo^2)/(2xo),(xo>0)
=1/4*(16+8xo^2+xo^4)/xo
S'=1/4[(16xo+4xo^3)x0-(16+8xo^2+xo^4)]/xo^2=1/4[3xo^4+8xo^2-16]/xo^2=1/4(3xo-4)(xo+4)/xo^2=0
由于xo>0,故解得xo=4/3
(0,4/3)时,S'<0,(4/3,+无穷)时,S'>0
故当Xo=4/3时,S有最小值.
yo=4-xo^2=4-16/9=20/9
即P坐标是(4/3,20/9).