已知等差数列{an}的公差d＞0，设{an}的前n项和为Sn，a1=1，S2•S3=36．（Ⅰ）求d及Sn；（Ⅱ）求m，k（m，k∈N*）的值，使得am+am+1+am+2+…+am+k=65．

Question

已知等差数列{a_n}的公差d＞0，设{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S₂•S₃=36．
（Ⅰ）求d及S_n；
（Ⅱ）求m，k（m，k∈N^*）的值，使得a_m+a_m+1+a_m+2+…+a_m+k=65．

Answer 1

（Ⅰ）由a₁=1，S₂•S₃=36得，
（a₁+a₂）（a₁+a₂+a₃）=36，
即（2+d）（3+3d）=36，化为d²+3d-10=0，
解得d=2或-5，
又公差d＞0，则d=2，
所以S_n=na1+(n(n−1))/(2)•d=n²（n∈N^*）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a_n=1+2（n-1）=2n-1，
由a_m+a_m+1+a_m+2+…+a_m+k=65得，((k+1)(am+am+k))/(2)＝65，
即（k+1）（2m+k-1）=65，
又m，k∈N^*，则（k+1）（2m+k-1）=5×13，或（k+1）（2m+k-1）=1×65，
下面分类求
当k+1=5时，2m+k-1=13，解得k=4，m=5；
当k+1=13时，2m+k-1=5，解得k=12，m=-3，故舍去；
当k+1=1时，2m+k-1=65，解得k=0，故舍去；
当k+1=65时，2m+k-1=1，解得k=64，m=-31，故舍去；
综上得，k=4，m=5．