数列{an}中,a1=1/5,an+a(n+1)=6/5^(n+1),(n属于N*),则lim(a1+a2+...+an)=?

Question

数列{an}中,a1=1/5,an+a(n+1)=6/5^(n+1),(n属于N*),则lim(a1+a2+...+an)=?

Answer 1

由an+a(n+1)=6/5*(1/5)^n得
(1)a1+a2=6/5*(1/5)^1
(2)a2+a3=6/5*(1/5)^2
(3)a3+a4=6/5*(1/5)^3
.
.
.
(n)an+a(n+1)=6/5*(1/5)^n
将以上n个等式相加得
(a1+a2+a3+...+an)+(a1+a2+a3+...+an+a(n+1))-a1=6/5*[(1/5)^1+(1/5)^2+...+(1/5)^n] （*）
令前n项和为Sn,（*）式右边为等比数列,则（*）式变为
Sn+S(n+1)-a1=6/5*[1-(1/5)^n]/(1-1/5)=3/2*[1-(1/5)^n]
a1=1/5
==>Sn+S(n+1)=1/5+3/2*[1-(1/5)^n]
因为limSn=limS（n+1）
==>lim(a1+a2+...+an)
=1/2lim[Sn+S(n+1)]
=1/2lim{1/5+3/2*[1-(1/5)^n]}
=1/2*(1/5+3/2)=17/20