已知数列an中a1=1/2,点（n,2an+1-an）在直线y=x上其n=1,2,3……（n,2an+1-an）中的an+1为角标（1）令bn=an+1-an-1,求证数列bn为等比数列(bn=an+1-an-1中的an+1为角标）（2）求数列an的通项（3）设Sn,Tn分别为数

Question

已知数列an中a1=1/2,点（n,2an+1-an）在直线y=x上
其n=1,2,3……（n,2an+1-an）中的an+1为角标
（1）令bn=an+1-an-1,求证数列bn为等比数列(bn=an+1-an-1中的an+1为角标）
（2）求数列an的通项
（3）设Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,是否存在实数λ,使得数列
{ （Sn+λTn）/n }为等差数列?若存在,试求出λ,若不存在.说明理由.

Answer 1

记a(n)为数列第n项,S(n)为前n和,T(n)为b(n)前n项和
(1)由题意：n=2a(n+1)-a(n)
b(n)=a(n+1)-a(n)-1=n-a(n+1)-1=(n-1)-a(n+1)
b(n+1)=n+1-a(n+2)-1=n-a(n+1)/2-(n+1)/2=(n-1)/2-a(n+1)/2
b(n+1)/b(n)=1/2
∴{b(n)}是等比数列；
(2)2a(2)-a(1)=2,于是a(2)=3/4
b(1)=a(2)-a(1)-1=-3/4
b(n)=-3/4*(1/2)^(n-1)=-3(1/2)^(n+1)
a(n)=1+b(n-1)+a(n-1)=a(n-1)+1-3*(1/2)^n
=a(n-2)+2-3[(1/2)^n+(1/2)^(n-1)]
=…
=a(1)+n-1-3[(1/2)^2+…+（1/2)^n]
=n-2+3(1/2)^n;
(3)S(n)=n(n+1)/2-2n+3-3(1/2)^n
T(n)=3/2*(1/2)^n-3/2
令C(n)=[S(n)+λT(n)]/n
C(1)=1/2-3λ/4,2C(2)=5/4-9λ/8,3C(3)=21/8-21λ/16
由C(1)-C(2)=C(2)-C(3)可得：λ=-2
于是：C(n)=(n-3)/2
C(n+1)-C(n)=1/2,等差
∴λ=-2时{S(n)+λT(n)]/n}为等差数列.