已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明数列{lg（1+an）}是等比数列；（Ⅱ）设Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及数列{an}的通项公式．

Question

已知a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明数列{lg（1+a_n）}是等比数列；
（Ⅱ）设T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n），求T_n及数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由已知，得a_n+1=a_n²+2a_n，
∴a_n+1+1=（a_n+1）²．
∵a₁=2，∴a_n+1＞1．
两边取对数，得lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），
即(lg(an+1+1))/(lg(an+1))＝2.
数列{lg（1+a_n）}是以lg3为首项，
公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
lg(an+1)＝2n−1lg3＝lg32n−1，
∴an+1＝32n−1，
∴an＝32n−1−1．
∴T_n=（1+a₁）（1+a₂）（1+a_n）
=3×321×322××32n−1
=31+2+22++2n−1=32n−1．