在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q是对角线A1C上两点，且PQ＝a2，则三棱锥P-BDQ的体积为（）A．336a3B．318a3C．324a3D．无法确定

Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、Q是对角线A₁C上两点，且PQ＝(a)/(2)，则三棱锥P-BDQ的体积为（　　）

A．(√(3))/(36)a3
B．(√(3))/(18)a3
C．(√(3))/(24)a3
D．无法确定

Answer 1

A₁C=√(3)a，PQ=(a)/(2)，
PQ=(√(3))/(6)A₁C，
BC⊥平面ABB₁A₁，A₁B∈平面ABB₁A₁，
BC⊥A₁B，A₁B=√(2)a，
S △A1BC=(√(2))/(2)a2，
S_△PQB=S △A1BC（(√(3))/(6)）=(√(6)a2)/(12)，
V A1−BDC=(1)/(3)S△BDC•AA₁=(1)/(3)×(a2)/(2)×a=(a3)/(6)，
设D至平面A₁BC距离为h，
V D−A1BC=(1)/(3)×(√(2))/(2)a2h=(√(2))/(6)ha2，
V A1−BDC=V D−A1BC，
(a3)/(6)＝(√(2))/(6)ha2，
h=(√(2))/(2)a，
∴V_P-BDQ=(1)/(3)S_△BPQ•h
=(1)/(3)×(√(6)a2)/(12)×(√(2))/(2)a
=(√(3)a3)/(36)．
故选：A．