如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=60°，AB=BD，BC=CD．（1）求证：平面ACC1A1⊥平面A1BD；（2）当BC⊥CD时，直线BC与平面A1BD所成的角能否为45°？并说明理由．

Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，AB=BD，BC=CD．

（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD；
（2）当BC⊥CD时，直线BC与平面A₁BD所成的角能否为45°？并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB=BD，BC=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，即AC平方∠BAD．
∵AB=BD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AC⊥BD．
∵AA₁⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，又AC⊂平面ACC₁A₁，AA₁⊂平面ACC₁A₁，AA₁∩AC=A，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，又BD⊂平面A₁BD，
∴平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．
（2）设AC∩BD=O，过C作CH⊥A₁O交A₁O的延长线于H，连结BH．
∵平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD，平面ACC₁A₁∩平面A₁BD=A₁O，CH⊥A₁O，CH⊂平面ACC₁A₁，
∴CH⊥平面A₁BD，即∠CBH是直线BC与平面A₁BD所成的角．
设AA₁=h，AB=2，则AO=√(3)，OC=OB=1，BC=√(2)，∴A₁O=√(h2+3)．
∵∠A₁AO=∠CHO=90°，∠AOA₁=∠COH，
∴△A₁AO∽△CHO，∴(CH)/(AA1)=(CO)/(A1O)=(1)/(√(h2+3))．
解得CH=(h)/(√(h2+3))．
∵∠CBH=45°，∠CHB=90°，BC=√(2)，
∴CH=1．
∴(h)/(√(h2+3))=1，方程无解．
∴直线BC与平面A₁BD所成的角不能为45°．