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(2013•河南模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是()A.[1,52]B.[324,52]C.[52
题目详情
(2013•河南模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是( )
A.[1,
]
B.[
,
]
C.[
,
]
D.[
,
]
A.[1,
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2 |
B.[
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2 |
C.[
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2 |
2 |
D.[
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▼优质解答
答案和解析
如下图所示:
分别取棱BB1、B1C1的中点M、N,连接MN,连接BC1,
∵M、N、E、F为所在棱的中点,∴MN∥BC1,EF∥BC1,
∴MN∥EF,又MN⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,
∴MN∥平面AEF;
∵AA1∥NE,AA1=NE,∴四边形AENA1为平行四边形,
∴A1N∥AE,又A1N⊄平面AEF,AE⊂平面AEF,
∴A1N∥平面AEF,
又A1N∩MN=N,∴平面A1MN∥平面AEF,
∵P是侧面BCC1B1内一点,且A1P∥平面AEF,
则P必在线段MN上,
在Rt△A1B1M中,A1M=
=
=
,
同理,在Rt△A1B1N中,求得A1N=
,
∴△A1MN为等腰三角形,
当P在MN中点O时A1P⊥MN,此时A1P最短,P位于M、N处时A1P最长,
A1O=
=
=
,
A1M=A1N=
,
所以线段A1P长度的取值范围是[
,
].
故选B.
分别取棱BB1、B1C1的中点M、N,连接MN,连接BC1,
∵M、N、E、F为所在棱的中点,∴MN∥BC1,EF∥BC1,
∴MN∥EF,又MN⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,
∴MN∥平面AEF;
∵AA1∥NE,AA1=NE,∴四边形AENA1为平行四边形,
∴A1N∥AE,又A1N⊄平面AEF,AE⊂平面AEF,
∴A1N∥平面AEF,
又A1N∩MN=N,∴平面A1MN∥平面AEF,
∵P是侧面BCC1B1内一点,且A1P∥平面AEF,
则P必在线段MN上,
在Rt△A1B1M中,A1M=
A1B12+B1M2 |
1+(
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| ||
2 |
同理,在Rt△A1B1N中,求得A1N=
| ||
2 |
∴△A1MN为等腰三角形,
当P在MN中点O时A1P⊥MN,此时A1P最短,P位于M、N处时A1P最长,
A1O=
A1M2−OM2 |
(
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3
| ||
4 |
A1M=A1N=
| ||
2 |
所以线段A1P长度的取值范围是[
3
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4 |
| ||
2 |
故选B.
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