a1^n+a2^n+...+an^n≥n*a1a2...an这个式子怎么证明呢这个我一般是用凹凸函数来证的啊,还能怎么证?

Question

a1^n+a2^n+...+an^n≥n*a1a2...an 这个式子怎么证明呢
这个我一般是用凹凸函数来证的啊,还能怎么证?

Answer 1

在算术－几何均值不等式：(a1+a2+...+an)/n>=n次根号(a1a2...an)中取ai是上面不等式中的ai^n就能证明.
会用凸凹函数证明,应该会用条件极值证明吧.考虑f(a1 ...,an)=na1*a2*...*an在条件a1^n+...+an^n=d>0的条件下的最大值,容易用Lagrange乘子法知道当ai全相等时得最大值d,在某一个ai＝0时达到最小值0.因此必有不等式成立.