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已知等比数列{an},Sn是其前n项的和,且a1+a3=5,S4=15.(I)求数列{an}的通项公式;(II)设bn=52+log2an,求数列{bn}的前n项和Tn(III)比较(II)中Tn与12n3+2(n=1,2,3…)的大小,并说明理由
题目详情
已知等比数列{an},Sn是其前n项的和,且a1+a3=5,S4=15.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)设bn=
+log2an,求数列{bn}的前n项和Tn
(III)比较(II)中Tn与
n3+2(n=1,2,3…)的大小,并说明理由.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)设bn=
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(III)比较(II)中Tn与
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▼优质解答
答案和解析
(I)设数列{an}的公比为q,则
方法一:a1+a3=a1+a1q2=a1(1+q2)=5,S4-(a1+a3)=a2+a4=a1q(1+q2)=10(2分)
∴q=2,a1=1,则an=2n-1(4分)
方法二:易知q≠1,则a1+a3=a1+a1q2=a1(1+q2)=5S4=
=
=a1(1+q)(1+q2)=15,
则1+q=3(2分)
(以下同方法一)(4分)
(II)由(I)可得,bn=
+log22n−1=
+(n−1)=n+
,
所以数列{bn}是一个以
为首项,1为公差的等差数列(5分)
∴Tn=
(6分)
=
=
(9分)
(III)∵(
n3+2)−Tn=
(n3−n2−4n+4)=
(n−1)(n−2)(n+2)(11分)
∴当n=1、2时,
(n−1)(n−2)(n+2)=0,即Tn=
n3+2(12分)
当n≥3时,
(n−1)(n−2)(n+2)>0,即Tn<
n3+2(14分)
方法一:a1+a3=a1+a1q2=a1(1+q2)=5,S4-(a1+a3)=a2+a4=a1q(1+q2)=10(2分)
∴q=2,a1=1,则an=2n-1(4分)
方法二:易知q≠1,则a1+a3=a1+a1q2=a1(1+q2)=5S4=
a1(1−q4) |
1−q |
a1(1−q)(1+q)(1+q2) |
1−q |
则1+q=3(2分)
(以下同方法一)(4分)
(II)由(I)可得,bn=
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所以数列{bn}是一个以
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∴Tn=
n(b1+bn) |
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=
n(
| ||||
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n(n+4) |
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(III)∵(
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∴当n=1、2时,
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当n≥3时,
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