早教吧 育儿知识 作业答案 考试题库 百科 知识分享

已知等比数列{an},Sn是其前n项的和,且a1+a3=5,S4=15.(I)求数列{an}的通项公式;(II)设bn=52+log2an,求数列{bn}的前n项和Tn(III)比较(II)中Tn与12n3+2(n=1,2,3…)的大小,并说明理由

题目详情
已知等比数列{an},Sn是其前n项的和,且a1+a3=5,S4=15.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)设bn=
5
2
+log2an,求数列{bn}的前n项和Tn
(III)比较(II)中Tn
1
2
n3+2(n=1,2,3…)的大小,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(I)设数列{an}的公比为q,则
方法一:a1+a3=a1+a1q2=a1(1+q2)=5,S4-(a1+a3)=a2+a4=a1q(1+q2)=10(2分)
∴q=2,a1=1,则an=2n-1(4分)
方法二:易知q≠1,则a1+a3=a1+a1q2=a1(1+q2)=5S4=
a1(1−q4)
1−q
a1(1−q)(1+q)(1+q2)
1−q
=a1(1+q)(1+q2)=15,
则1+q=3(2分)
(以下同方法一)(4分)
(II)由(I)可得,bn=
5
2
+log22n−1=
5
2
+(n−1)=n+
3
2

所以数列{bn}是一个以
5
2
为首项,1为公差的等差数列(5分)
Tn=
n(b1+bn)
2
(6分)
=
n(
5
2
+n+
3
2
)
2
n(n+4)
2
(9分)
(III)∵(
1
2
n3+2)−Tn=
1
2
(n3−n2−4n+4)=
1
2
(n−1)(n−2)(n+2)(11分)
∴当n=1、2时,
1
2
(n−1)(n−2)(n+2)=0,即Tn=
1
2
n3+2(12分)
当n≥3时,
1
2
(n−1)(n−2)(n+2)>0,即Tn
1
2
n3+2(14分)