已知等比数列{an},Sn是其前n项的和,且a1+a3=5,S4=15.(I)求数列{an}的通项公式;(II)设bn=52+log2an,求数列{bn}的前n项和Tn(III)比较(II)中Tn与12n3+2(n=1,2,3…)的大小,并说明理由
已知等比数列{a
n},S
n是其前n项的和,且a
1+a
3=5,S
4=15.
(I)求数列{a
n}的通项公式;
(II)设
bn=+log2an,求数列{bn}的前n项和Tn
(III)比较(II)中Tn与n3+2(n=1,2,3…)的大小,并说明理由.
答案和解析
(I)设数列{a
n}的公比为q,则
方法一:a
1+a
3=a
1+a
1q
2=a
1(1+q
2)=5,S
4-(a
1+a
3)=a
2+a
4=a
1q(1+q
2)=10(2分)
∴q=2,a
1=1,则a
n=2
n-1(4分)
方法二:易知q≠1,则a
1+a
3=a
1+a
1q
2=a
1(1+q
2)=5
S4===a1(1+q)(1+q2)=15,
则1+q=3(2分)
(以下同方法一)(4分)
(II)由(I)可得,bn=+log22n−1=+(n−1)=n+,
所以数列{bn}是一个以为首项,1为公差的等差数列(5分)
∴Tn=(6分)
==(9分)
(III)∵(n3+2)−Tn=(n3−n2−4n+4)=(n−1)(n−2)(n+2)(11分)
∴当n=1、2时,(n−1)(n−2)(n+2)=0,即Tn=n3+2(12分)
当n≥3时,(n−1)(n−2)(n+2)>0,即Tn<n3+2(14分)
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