如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是[324，52]．[324，52]．．

Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别是棱BC，CC₁的中点，P是侧面BCC₁B₁内一点，若A₁P∥平面AEF，则线段A₁P长度的取值范围是

[(3√(2))/(4)，(√(5))/(2)]．

[(3√(2))/(4)，(√(5))/(2)]．

．

Answer 1

如下图所示：
分别取棱BB₁、B₁C₁的中点M、N，连接MN，连接BC₁，
∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC₁，EF∥BC₁，
∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
∵AA₁∥NE，AA₁=NE，∴四边形AENA₁为平行四边形，
∴A₁N∥AE，又A₁N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，
∴A₁N∥平面AEF，
又A₁N∩MN=N，∴平面A₁MN∥平面AEF，
∵P是侧面BCC₁B₁内一点，且A₁P∥平面AEF，
则P必在线段MN上，
在Rt△A₁B₁M中，A₁M=√(A1B12+B1M2)=√(1+((1)/(2))2)=(√(5))/(2)，
同理，在Rt△A₁B₁N中，求得A₁N=(√(5))/(2)，
∴△A₁MN为等腰三角形，
当P在MN中点O时A₁P⊥MN，此时A₁P最短，P位于M、N处时A₁P最长，
A₁O=√(A1M2−OM2)=√(((√(5))/(2))2−((√(2))/(4))2)=(3√(2))/(4)，
A₁M=A₁N=(√(5))/(2)，
所以线段A₁P长度的取值范围是[(3√(2))/(4)，(√(5))/(2)]．
故答案为：[(3√(2))/(4)，(√(5))/(2)]．