lna1和2+lna5的等差中项为lna2且a1a2=e求{an}

Question

lna1和2+lna5的等差中项为lna2且a1a2=e求{an}

Answer 1

数列{an}是等比数列,a1>0,公比q不等于1
(1) 设{an}的公比为q,则a5=a2q^3.
由于lna1和2+lna5的等差中项为lna2,故：
2lna2=lna1+2+lna5
3lna2=lna1+lna2+ln(a2q^3)+2
ln(a2)^3=ln(a1a2)+ln(a2q^3)+2
ln(a2^2/q^3)=3
ln(a1^2/q)=3
2lna1-lnq=3.(1)
而a1a2=e,故：a1^2*q=e, 2lna1+lnq=1.(2)
由（1）（2）解得：
q=e^(-1); a1=e
故：an=a1*q^(n-1)=e*e^[-(n-1)]=e^(2-n)