如图，在多面体ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1∥.BB1，AB＝AC＝AA1＝22BC，B1C1∥.12BC．（1）求证：A1B1⊥平面AA1C；（2）求证：AB1∥平面A1C1C；（3）求二面角C1-A1C-A的余弦值．

Question

如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AA₁

∥

.

BB₁，AB＝AC＝AA1＝(√(2))/(2)BC，B1C1

∥

.

(1)/(2)BC．
（1）求证：A₁B₁⊥平面AA₁C；
（2）求证：AB₁∥平面A₁C₁C；
（3）求二面角C₁-A₁C-A的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵AB＝AC＝(√(2))/(2)BC，∴AB⊥AC
∵AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥AB
∵AA₁∩AC=A
∴AB⊥平面AA₁C
∵AA₁平行且BB₁，
∴四边形ABB₁A₁为平行四边形
∴A₁B₁∥AB
∴A₁B₁⊥平面AA₁C；
（2）证明：取BC的中点D，连接AD，DC₁，则CD平行且等于B₁C₁，BD平行且等于B₁C₁，
∴四边形B₁DCC₁和BDC₁B₁为平行四边形
∴B₁D平行且等于CC₁，∴C₁D平行且等于B₁B
由（1）B₁B平行且等于AA₁，∴C₁D平行且等于A₁A
∴四边形AA₁C₁D为平行四边形
∴AD∥A₁C₁
∵B₁D∩AD=D，B₁D，AD⊂平面AB₁D
∴平面AB₁D∥平面A₁C₁C
∵AB₁⊂平面AB₁D
∴AB₁∥平面A₁C₁C；
（3）由（1）知，AA₁，AB，AC两两垂直，建立如图所示的直角坐标系，设BC=2，则A₁（0，0，√(2)），C（0，-√(2)，0)，C₁（-(√(2))/(2)，-(√(2))/(2)，√(2)）
∴

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