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设向量组a1a2a3线性相关,且其中任意两个线性无关,证明存在全不为零的常数k1k2k3使得k1a1+k2a2+k3a3=0
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设向量组a1a2a3线性相关,且其中任意两个线性无关,证明存在全不为零的常数k1k2k3使得k1a1+k2a2+k3a3=0
▼优质解答
答案和解析
因为 a1,a2,a3 线性相关
所以存在不全为0的数 k1,k2,k3,使得 k1a1+k2a2+k3a3=0
事实上,k1,k2,k3 全不为0
如若k1=0,则 k2a2+k3a3=0.
因为 a2,a3 线性无关,所以有 k2=k3=0
这与 k1,k2,k3 不全为0矛盾
所以 k1,k2,k3 即为全不为0的常数,使得 k1a1+k2a2+k3a3=0
所以存在不全为0的数 k1,k2,k3,使得 k1a1+k2a2+k3a3=0
事实上,k1,k2,k3 全不为0
如若k1=0,则 k2a2+k3a3=0.
因为 a2,a3 线性无关,所以有 k2=k3=0
这与 k1,k2,k3 不全为0矛盾
所以 k1,k2,k3 即为全不为0的常数,使得 k1a1+k2a2+k3a3=0
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