在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．

Question

在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a²+b²+2c²=8，则△ABC面积的最大值为___．

Answer 1

由三角形面积公式可得：S=(1)/(2)absinC，
可得：S²=(1)/(4)a²b²（1-cos²C）=(1)/(4)a²b²[1-（(a2+b2-c2)/(2ab)）²]，
∵a²+b²+2c²=8，
∴a²+b²=8-2c²，
∴S²=(1)/(4)a²b²[1-（(a2+b2-c2)/(2ab)）²]
=(1)/(4)a²b²[1-（(8-3c2)/(2ab)）²]
=(1)/(4)a²b²-((8-3c2)2)/(16)
≤((a2+b2)2)/(16)-((8-3c2)2)/(16)=-(5c2)/(16)+c，当且仅当a=b时等号成立，
∴当c=(8)/(5)时，-(5c2)/(16)+c取得最大值(4)/(5)，S的最大值为(2√(5))/(5)．
故答案为：(2√(5))/(5)．