已知{an}是递减的等差数列，a2，a3是方程x2-5x+6=0的根．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{an2n}的前n项和．

Question

已知{a_n}是递减的等差数列，a₂，a₃是方程x²-5x+6=0的根．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{(an)/(2n)}的前n项和．

Answer 1

（1）方程x²-5x+6=0的两根为2，3．
由题意得a₂=3，a₃=2．
设数列{a_n}的公差为d，则a₃-a₂=d，
故d=-1，从而得a₁=4．
∴{a_n}的通项公式为a_n=-n+5．
（2）设(an)/(2n)的前n项和为S_n，由（1）知(an)/(2n)＝(−n+5)/(2n)，
则Sn＝(4)/(2)+(3)/(22)+(2)/(23)+(1)/(24)+…+(−n+5)/(2n)，
(1)/(2)Sn＝(4)/(22)+(3)/(23)+(2)/(24)+(1)/(25)+…+(−n+6)/(2n)+(−n+5)/(2n+1)，
两式相减得(1)/(2)Sn＝2−((1)/(22)+(1)/(23)+(1)/(24)+(1)/(25)+…+(1)/(2n))−(−n+5)/(2n+1)
即(1)/(2)Sn＝2−(((1)/(4)−(1)/(2n+1))/(1−(1)/(2)))−(−n+5)/(2n+1)，
(1)/(2)Sn＝2−(((1)/(4)−(1)/(2n+1))/(1−(1)/(2)))−(−n+5)/(2n+1)，
∴Sn＝3+((n−3)/(2n))．