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已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},(max{p,q})表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值),记H1(x)的
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已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},(max{p,q})表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=( )
A. 16
B. -16
C. -16a2-2a-16
D. 16a2+2a-16
A. 16
B. -16
C. -16a2-2a-16
D. 16a2+2a-16
▼优质解答
答案和解析
令h(x)=f(x)-g(x)=x2-2(a+2)x+a2-[-x2+2(a-2)x-a2+8]=2x2-4ax+2a2-8=2(x-a)2-8.
①由2(x-a)2-8=0,解得x=a±2,此时f(x)=g(x);
②由h(x)>0,解得x>a+2,或x<a-2,此时f(x)>g(x);
③由h(x)<0,解得a-2<x<a+2,此时f(x)<g(x).
综上可知:(1)当x≤a-2时,则H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x)=[x-(a+2)]2-4a-4,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/faf2b2119313b07e7e2bcabe0fd7912396dd8cf6.jpg)
H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x)=-[x-(a-2)]2-4a+12,
(2)当a-2≤x≤a+2时,H1(x)=max{f(x),g(x)}=g(x),H2(x)=min{f(x),g(x)}=f(x);
(3)当x≥a+2时,则H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x),
H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x),
故A=g(a+2)=-[(a+2)-(a-2)]2-4a+12=-4a-4,B=g(a-2)=-4a+12,
∴A-B=-4a-4-(-4a+12)=-16.
故选B.
①由2(x-a)2-8=0,解得x=a±2,此时f(x)=g(x);
②由h(x)>0,解得x>a+2,或x<a-2,此时f(x)>g(x);
③由h(x)<0,解得a-2<x<a+2,此时f(x)<g(x).
综上可知:(1)当x≤a-2时,则H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x)=[x-(a+2)]2-4a-4,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/faf2b2119313b07e7e2bcabe0fd7912396dd8cf6.jpg)
H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x)=-[x-(a-2)]2-4a+12,
(2)当a-2≤x≤a+2时,H1(x)=max{f(x),g(x)}=g(x),H2(x)=min{f(x),g(x)}=f(x);
(3)当x≥a+2时,则H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x),
H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x),
故A=g(a+2)=-[(a+2)-(a-2)]2-4a+12=-4a-4,B=g(a-2)=-4a+12,
∴A-B=-4a-4-(-4a+12)=-16.
故选B.
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