已知loga1b1=loga2b2=…=loganbn，求证loga1a2…an（b1b2…bn）=loga1b1=loga2b2=…=loganbn．

Question

已知log a1b₁=log a2b₂=…=log anb_n，求证log a1a2…an（b₁b₂…b_n）=log a1b₁=log a2b₂=…=log anb_n．

Answer 1

证明：令log a1b₁=log a2b₂=…=log anb_n=N，
则(lgb1)/(lga1)＝(lgb2)/(lga2)＝…＝(lgbn)/(lgan)＝N，
由分式的合比性质得：
(lgb1+lgb2+…+lgbn)/(lga1+lga2+…+lgan)＝N，
即(lg(b1b2…bn))/(lg(a1a2…an))＝N，
∴log a1a2…an（b₁b₂…b_n）=log a1b₁=log a2b₂=…=log anb_n．