设xn=（1+a）（1+a2）…（1+a2n），其中，求limn→∞xn．

Question

设x_n=（1+a）（1+a²）…（1+a2n），其中，求

lim

n→∞

x_n．

Answer 1

当a=1时，x_n =2²ⁿ⁺¹，故

lim

n→∞

xn=∞．
当a=-1时，x_n =0，故

lim

n→∞

xn=0．
当a≠1时，
（1-a）x_n=(1−a)(1+a)(1+a2)…(1+a2n)=1−a2n+1，
又因为 

lim

n→∞

a2n+1=

0，	|a|＜1
∞，	|a|＞1

，
所以

lim

n→∞

xn=(limn→∞(1−a2n+1))/(1−a)=

(1)/(1−a)，	|a|＜1
∞，	|a|＞1

．
综上可得，

lim

n→∞

xn=

0，	a＝−1
(1)/(1−a)，	−1＜a＜1
∞，	a＜−1或a≥1

．