一个证明题a1,a2,a3,an是一组n维向量,怎么证明：它们线性无关的充分必要条件是任意n维向量都能由它们线性表示

Question

一个证明题
a1,a2,a3,an是一组n维向量,怎么证明：它们线性无关的充分必要条件是任意n维向量都能由它们线性表示

Answer 1

证明:必要性
对任意一个n维向量x,a1,a2,a3,...,an,x线性相关 (个数大于维数)
因为 a1,a2,a3,...,an 线性无关
所以 x 可由 a1,a2,a3,...,an 线性表示.
充分性:由已知,n维基本向量组 ε1,ε2,...,εn 可由 a1,a2,a3,...,an 线性表示
而由于 a1,a2,a3,...,an 可由 ε1,ε2,...,εn 线性表示
故两个向量组等价,故有相同的秩
即有 r(a1,a2,a3,...,an) = r(ε1,ε2,...,εn) =n
所以 a1,a2,a3,...,an 线性无关.