设向量a1=（1,4,0,2）,a2=(2,7,1,3),a3=(0,1,-1,a),b=(3,10,b,4)1.当a,b取何值时,b不能由a1,a2,a3线性表示2.当a,b取何值时,b可由a1,a2,a3线性表示,并求出相应的表示式.

Question

设向量a1=（1,4,0,2）,a2=(2,7,1,3),a3=(0,1,-1,a),b=(3,10,b,4)
1.当a,b取何值时,b不能由a1,a2,a3线性表示
2.当a,b取何值时,b可由a1,a2,a3线性表示,并求出相应的表示式.

Answer 1

β可由a1,a2,a3线性表示当且仅当(a1,a2,a3)X=β有解.
(a1,a2,a3,β) =
1 2 0 3
4 7 1 10
0 1 -1 b
2 3 a 4
r2-4r1,r4-2r1
1 2 0 3
0 -1 1 -2
0 1 -1 b
0 -1 a -2
r3+r2,r4-r2
1 2 0 3
0 -1 1 -2
0 0 0 b-2
0 0 a-1 0
r1+2r2,r2*(-1)
1 0 2 -1
0 1 -1 2
0 0 0 b-2
0 0 a-1 0
当b≠2(a任意)时,β不能由a1,a2,a3线性表示.
当b=2(a任意)时,β可由a1,a2,a3线性表示.
β = -a1+2a2.