求方程a3b-ab3+2a2+2b2+4=0的所有整数解其中3,2分别是立方,平方

Question

求方程a3b-ab3+2a2+2b2+4=0的所有整数解
其中3,2分别是立方,平方

Answer 1

这题比较有意思；我发现没人回答了!这次我可以抢沙发啦：
难一点没关系,我们可以把它转为简单的!
a3b-ab3+2a2+2b2+4=a3b-ab3+a2+b2+1 +a2+b2+3；
（分成两部分处理：）
第一部分：ab(a+b)(a-b)+a2+b2+1=[a(a-b)][b(a+b)]+a2+b2+1 =[a(a-b)+1][b(a+b)+1]
=(a²-ab+1)(b²+ab+1)
对于第二部分比较麻烦,所以采用了假定方法：
X=a(a-b)+1；Y=b(a+b)+1；
这样剩下部分：a2+b2+3=a^2-ab+1+b^2+ab+1+1=X+Y+1；
两部分相结合：XY+X+Y+1=（X+1)(Y+1)=0；（哈哈!分解成功!）
因此：X+1=0：Y+1=0；
剩下的就容易了：a^2-ab+2=0；b^2+ab+2=0；并且a、b为整数；
那就有：a（a-b）=-2；推出：a=-2；b=-3；或者a=2,b=3；或者a=1,b=3；或者a=-1；b=-3；
且：b(b+a)=-2；推出：b=-2；a=3或者b=2；a=-3；或者b=1；a=-3；或者b=-1；a=3.
情况真多啊!
回答完毕!
解得：