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数列{an}的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,公差与公比均为2,并且a2+a4=a1+a5,a4+a7=a6+a3.则使得am•am+1•am+2=am+am+1+am+2成立的所有正整数m的值为.
题目详情
数列{an}的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,公差与公比均为2,并且a2+a4=a1+a5,a4+a7=a6+a3.则使得am•am+1•am+2=am+am+1+am+2成立的所有正整数m的值为______.
▼优质解答
答案和解析
∵数列{an}的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,公差与公比均为2,
∴a3=a1+2,a5=a1+4,a7=a1+6,
a4=2a2,a6=4a2,
∵a2+a4=a1+a5,a4+a7=a6+a3
∴a2+2a2=a1+4+a1,2a2+6+a1=4a2+2+a1
∴a1=1,a2=2,
∵am•am+1•am+2=am+am+1+am+2成立,
∴由上面可以知数列{an}为:1,2,3,4,5,8,7,16,9,…
当m=1时等式成立,即 1+2+3=-6=1×2×3;等式成立.
当m=2时等式成立,即2×3×4≠2+3+4;等式不成立.
当m=3、4时等式不成立;
当m≥5时,
∵am•am+1•am+2为偶数,am+am+1+am+2为奇数,
∴可得m取其它值时,不成立,
∴m=1时成立.
故答案为:1
∴a3=a1+2,a5=a1+4,a7=a1+6,
a4=2a2,a6=4a2,
∵a2+a4=a1+a5,a4+a7=a6+a3
∴a2+2a2=a1+4+a1,2a2+6+a1=4a2+2+a1
∴a1=1,a2=2,
∵am•am+1•am+2=am+am+1+am+2成立,
∴由上面可以知数列{an}为:1,2,3,4,5,8,7,16,9,…
当m=1时等式成立,即 1+2+3=-6=1×2×3;等式成立.
当m=2时等式成立,即2×3×4≠2+3+4;等式不成立.
当m=3、4时等式不成立;
当m≥5时,
∵am•am+1•am+2为偶数,am+am+1+am+2为奇数,
∴可得m取其它值时,不成立,
∴m=1时成立.
故答案为:1
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