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设a,b,c是三个互不相等的正整数,求证:在a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3这三个数中,至少有一个数能被10整除.

题目详情
设a,b,c是三个互不相等的正整数,求证:在a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3这三个数中,至少有一个数能被10整除.
▼优质解答
答案和解析
a3b−ab3=ab(a2−b2)(1)
b3c−bc3=bc(b2−c2)(2)
c3a−ca3=ca(c2−a2)(3)

∴在a,b,c中有偶数或都是奇数时,
a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3三数总和整除2,
又∵在a,b,c三数,若有一个数是5的倍数,则得证命题.
设a,b,c都不能被5整除,则a2,b2,c2的个位数只能是1,4,6,9.
从而a2-b2,b2-c2,c2-a2的个位数字只能是从1,4,6,9中取3个,两两相差的差.
∵这些差中必有0或±5,
∴所以题中三式表示的数至少有一个能被5整除.
∵[2,5]=10,(2,5)=1,
∴a3b-ab3,ac3-a3c,b3c-bc3,至少有一个能被10整除.