如图，抛物线y=ax2+c经过点B1（1，13），B2（2，712）．在该抛物线上取点B3（3，y3），B4（4，y4），…，B100（100，y100），在x轴上依次取点A1，A2，A3，…，A100，使△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…

Question

如图，抛物线y=ax²+c经过点B₁（1，(1)/(3)），B₂（2，(7)/(12)）．在该抛物线上取点B₃（3，y₃），B₄（4，y₄），…，B₁₀₀（100，y₁₀₀），在x轴上依次取点A₁，A₂，A₃，…，A₁₀₀，使△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，…，△A₁₀₀B₁₀₀A₁₀₁分别是以∠B₁，∠B₂，…，∠B₁₀₀为顶角的等腰三角形，设A₁的横坐标为t（0＜t＜1）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）记△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，…，A₁₀₀B₁₀₀A₁₀₁的面积分别为S₁，S₂，…，S₁₀₀，用含t的代数式分别表示S₁，S₂和S₁₀₀；
（3）在所有等腰三角形中是否存在直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+c经过点B₁（1，(1)/(3)），B₂（2，(7)/(12)），
∴

a+c＝(1)/(3)

4a+c＝(7)/(12)

，
解得

a＝(1)/(12)

c＝(1)/(4)

，
所以，抛物线解析式为y=(1)/(12)x²+(1)/(4)；

（2）∵A₁的横坐标为t，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄是等腰三角形，
∴A₂（2-t，0），A₃（2+t，0），
∴A₁A₂=（2-t）-t=2-2t，A₂A₃=（2+t）-（2-t）=2t，
∴S₁=(1)/(2)×（2-2t）×(1)/(3)=(1−t)/(3)，S₂=(1)/(2)×2t×(7)/(12)=(7)/(12)t，
依此类推，A₄（4-t，0），A₅（4+t，0），A₆（6-t，0），A₇（6+t，0），…，
∴A₃A₄=（4-t）-（2+t）=2-2t，A₄A₅=（4+t）-（4-t）=2t，
A₅A₆=（6-t）-（4+t）=2-2t，A₆A₇=（6+t）-（6-t）=2t，…，
A₁₀₀A₁₀₁=2t，
又∵y₁₀₀=(1)/(12)×100²+(1)/(4)=(10003)/(12)；
∴S₁₀₀=(1)/(2)×2t•(10003)/(12)=(10003)/(12)t；

（3）存在．
理由如下：若△A₁B₁A₂为等腰直角三角形，则A₁A₂=2-2t=2×(1)/(3)，
解得t=(2)/(3)，
若△A₂B₂A₃为等腰直角三角形，则A₂A₃=2t=2×(7)/(12)，
解得t=(7)/(12)，
若△A₃B₃A₄为等腰直角三角形，则A₃A₄=2-2t=2（(32)/(12)+(1)/(4)），
解得t=0，依次向右，t逐渐变小，
∵0＜t＜1，
∴t的值为(2)/(3)，(7)/(12)时，所有等腰三角形中存在直角三角形．