已知{an}为公差不为0的等差数列，a1=3，且a1、a4、a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=2nan，求数列{bn}的前n项和．

Question

已知{a_n}为公差不为0的等差数列，a₁=3，且a₁、a₄、a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=2ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，由题意得（3+3d）²=3（3+12d），得d=2或d=0（舍），…（2分）
所以{a_n}的通项公式为a_n=3+（n-1）•2=2n+1…（4分）
（Ⅱ）bn＝2nan＝(2n+1)2nSn＝3•21+5•22+7•23+…+(2n+1)•2n…①
…2Sn＝3•22+5•23+7•24+…+(2n+1)•2n+1②…（6分）
①-②得−Sn＝3•21+2•22+2•23+…+2•2n−(2n+1)•2n+1…（8分）

＝2+2•(2(1−2n))/(1−2)−(2n+1)•2n+1

＝−2−(2n−1)•2n+1

…（10分）
∴Sn＝(2n−1)•2n+1+2…（12分）