已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，s4-b4=10．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）记Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn，n∈N*，证明：Tn+12=-2an+10bn（n∈N*）．

Question

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27，s₄-b₄=10．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）记T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+…+a₁b_n，n∈N^*，证明：T_n+12=-2a_n+10b_n（n∈N^*）．

Answer 1

（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，s₄=8+6d，
由条件a₄+b₄=27，s₄-b₄=10，
得方程组

2+3d+2q3=27

8+6d-2q3=10

，解得

d=3

q=2

，
故a_n=3n-1，b_n=2ⁿ，n∈N^*．
（2）证明：方法一，由（1）得，T_n=2a_n+2²a_n-1+2³a_n-2+…+2ⁿa₁；   ①；
2T_n=2²a_n+2³a_n-1+…+2ⁿa₂+2ⁿ⁺¹a₁；     ②；
由②-①得，T_n=-2（3n-1）+3×2²+3×2³+…+3×2ⁿ+2ⁿ⁺²
=(12(1-2n-1))/(1-2)+2ⁿ⁺²-6n+2
=10×2ⁿ-6n-10；
而-2a_n+10b_n-12=-2（3n-1）+10×2ⁿ-12=10×2ⁿ-6n-10；
故T_n+12=-2a_n+10b_n（n∈N^*）．
方法二：数学归纳法，
③当n=1时，T₁+12=a₁b₁+12=16，-2a₁+10b₁=16，故等式成立，
④假设当n=k时等式成立，即T_k+12=-2a_k+10b_k，
则当n=k+1时有，
T_k+1=a_k+1b₁+a_kb₂+a_k-1b₃+…+a₁b_k+1
=a_k+1b₁+q（a_kb₁+a_k-1b₂+…+a₁b_k）
=a_k+1b₁+qT_k
=a_k+1b₁+q（-2a_k+10b_k-12）
=2a_k+1-4（a_k+1-3）+10b_k+1-24
=-2a_k+1+10b_k+1-12．
即T_k+1+12=-2a_k+1+10b_k+1，因此n=k+1时等式成立．
③④对任意的n∈N^*，T_n+12=-2a_n+10b_n成立．