已知实数a，b满足a2+b2=1，则a4+ab+b4的最小值为（）A．−18B．0C．1D．98

Question

已知实数a，b满足a²+b²=1，则a⁴+ab+b⁴的最小值为（　　）

A．−(1)/(8)
B．0
C．1
D．(9)/(8)

Answer 1

∵（a-b）²=a²-2ab+b²≥0，
∴2|ab|≤a²+b²=1，
∴-(1)/(2)≤ab≤(1)/(2)，
令y=a⁴+ab+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²+ab=-2a²b²+ab+1=-2（ab-(1)/(4)）²+(9)/(8)，
当-(1)/(2)≤ab≤(1)/(4)时，y随ab的增大而增大，
当(1)/(4)≤ab≤(1)/(2)时，y随ab的增大而减小，
故当ab=-(1)/(2)时，a⁴+ab+b⁴的最小值，为-2（-(1)/(2)-(1)/(4)）²+(9)/(8)=-2×(9)/(16)+(9)/(8)=0，
即a⁴+ab+b⁴的最小值为0，当且仅当|a|=|b|时，ab=-(1)/(2)，此时a=-(√(2))/(2)，b=(√(2))/(2)，或 a=(√(2))/(2)，b=-(√(2))/(2)．
故选B．