设n∈N*，数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=Sn+an+2，且a1，a2，a5成等比数列．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{bn}满足bnan=（2）1+an，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

设n∈N^*，数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n+1=S_n+a_n+2，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}满足(bn)/(an)=（√(2)） 1+an，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（I）∵S_n+1=S_n+a_n+2，
∴a_n+1-a_n=2，
∴数列{a_n}是公差为2的等差数列，
∵a₁，a₂，a₅成等比数列，
∴

a

2 2

=a₁•a₅，
∴(a1+2)2=a₁（a₁+8），解得a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）∵数列{b_n}满足(bn)/(an)=（√(2)） 1+an，
∴b_n=（2n-1）(√(2))2n=（2n-1）2ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）2ⁿ，
∴2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=2+2×(4(2n-1-1))/(2-1)-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=-6+（3-2n）×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=6+（2n-3）×2ⁿ⁺¹．