等比数列{An},每一项都是后面所有项和的4倍,A5=16/625.则它所有偶数项的和为?

Question

等比数列{An},每一项都是后面所有项和的4倍,A5=16/625.则它所有偶数项的和为?

Answer 1

根据 “每一项都是后面所有项和的4倍,A5=16/625”
A5 = 16/625 = 4* (A6+A7+A8+……）
A4 = 4*(A5+A6+A7+……） = 4A5 + 4*(A6+A7+A8+……） = 5* A5 = 16/125
所以公比 A5/A4 = (16/625)/(16/125) = 1/5
A3 = 5*A4 = 16/25
A2 = 5*A3 = 16/5
A1 = 5*A2 = 16
An 的所有偶数项构成新的等比数列 Bn,
公比为原数列公比的平方,即 q = (1/5)^2 = 1/25
首项为 B1 = A2 = 16/5
Bn数列的和为：
Sn = B1 * (1-q^n)/(1-q) = (16/5) * [1 - (1/25)^n]/(1 - 1/25)
= (16/5) * (25/24)
= 10/3
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题目中Sn的计算利用了 1 - (1/25)^n = 1
这是级数知识,当n趋向无穷大时,该式成立.
另外,如果在高中阶段对这点觉得不能理解的话,那么可以通过An来推出这个结论.
A1 = 4*(A2+A3+A4+……） = 16
所以 A2+A3+A4+ …… = 4
A1 + A2 + A3 + …… = 16 + 4 = 20
即 16*[1-(1/5)^n]/(1 -1/5) = 20
1 - (1/5)^n = 1