设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=24，a6=18．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn；（Ⅲ）当n为何值时，Sn最大，并求Sn的最大值．

Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=24，a₆=18．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）当n为何值时，S_n最大，并求S_n的最大值．

Answer 1

设等差数列的首项为a₁，公差为d，
由

a3＝a1+2d＝24

a6＝a1+5d＝18

，得

a1＝28

d＝−2

．
（Ⅰ）a_n=a₁+（n-1）d=28-2（n-1）=30-2n；
（Ⅱ）Sn＝na1+(n(n−1)d)/(2)＝28n+(n(n−1)•(−2))/(2)＝−n2+29n．
（Ⅲ）因为Sn＝−n2+29n，
由二次函数的性质可得，当n=(29)/(2)时函数有最大值，
而n∈N^*，所以，当n=14或15时，S_n最大，最大值为210．