在等比数列an中,a1+a2+.+a6=10,1/a1+1/a2+.1/a6=5,则a1*a2*.a6=?

Question

在等比数列an中,a1+a2+.+a6=10,1/a1+1/a2+.1/a6=5,则a1*a2*.a6=?

Answer 1

解析：
由题意可设等比数列的公比为q（q≠1）,则可知：
数列{1/an}是以1/a1为首项,公比为1/q的等比数列
故有：
a1+a2+.+a6=a1*(1-q的6次幂)/(1-q)=10 （1）
1/a1+1/a2+.+1/a6=(1/a1)*[1- (1/q的6次幂)]/(1- 1/q)=5 （2）
（2）式可化为：(1/a1)*[（q的6次幂-1）/q的6次幂)]/[(q- 1)/q]=5
即(1/a1)*(1/q的5次幂)*（q的6次幂-1）/(q- 1)=5 （3）
（1）÷（3）可得：
a1²×q的5次幂=2
所以：
a1*a2*.*a6
=a1的6次幂*q的15次幂
=(a1²×q的5次幂)³
=2³
=8