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已知等边三角形边长为1,求证三角形内任意一点到三顶点距离之和小于2?有追分!
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已知等边三角形边长为1,求证三角形内任意一点到三顶点距离之和小于2?
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答案和解析
证明:设三角形内任意一点为P,
过P点作BC边的平行线EF,分别交AB、AC于E、F.
∵ΔABC为等边三角形,∴∠AFE=∠ABC=60°,又∵∠APE>∠AFE,
∴∠APE>60°.
在ΔAEP中,
∵∠APE>∠AEP,∴AE>AP.
∵ΔAEF为等边三角形,∴AE=EF=AF.
∵AE>AP,BE+EP>BP,PF+FC>PC,
∴AE+(EB+EP)+(PF+FC)>AP+PB+PC,
即AB+EF+FC>PA+PB+PC,
∴PA+PB+PC<AB+AC=2
∴三角形内任意一点到三顶点距离之和小于2
过P点作BC边的平行线EF,分别交AB、AC于E、F.
∵ΔABC为等边三角形,∴∠AFE=∠ABC=60°,又∵∠APE>∠AFE,
∴∠APE>60°.
在ΔAEP中,
∵∠APE>∠AEP,∴AE>AP.
∵ΔAEF为等边三角形,∴AE=EF=AF.
∵AE>AP,BE+EP>BP,PF+FC>PC,
∴AE+(EB+EP)+(PF+FC)>AP+PB+PC,
即AB+EF+FC>PA+PB+PC,
∴PA+PB+PC<AB+AC=2
∴三角形内任意一点到三顶点距离之和小于2
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