已知等边三角形边长为1,求证三角形内任意一点到三顶点距离之和小于2?有追分!

Question

已知等边三角形边长为1,求证三角形内任意一点到三顶点距离之和小于2?
有追分!

Answer 1

证明：设三角形内任意一点为P,
过P点作BC边的平行线EF,分别交AB、AC于E、F．
∵ΔABC为等边三角形,∴∠AFE＝∠ABC＝60°,又∵∠APE＞∠AFE,
∴∠APE＞60°．
在ΔAEP中,
∵∠APE＞∠AEP,∴AE＞AP．
∵ΔAEF为等边三角形,∴AE＝EF＝AF．
∵AE＞AP,BE＋EP＞BP,PF＋FC＞PC,
∴AE＋(EB＋EP)＋(PF＋FC)＞AP＋PB＋PC,
即AB＋EF＋FC＞PA＋PB＋PC,
∴PA＋PB＋PC＜AB＋AC＝2
∴三角形内任意一点到三顶点距离之和小于2