已知等差数列{an}中，公差d≠0，a1=2，且a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn=1an•an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知等差数列{a_n}中，公差d≠0，a₁=2，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=(1)/(an•an+1)，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（I）设数列{a_n}的公差为d
∵a₁，a₃，a₇成等比数列
∴

a

2 3

=a₁a₇，∴(a1+2d)2=a₁（a₁+6d）
又a₁=2，∴d=1或d=0（舍去）
∴a_n=2+（n-1）•1=n+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=(1)/((n+1)(n+2))=(1)/(n+1)-(1)/(n+2)，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=(1)/(2)-(1)/(3)+(1)/(3)-(1)/(4)+…+(1)/(n+1)-(1)/(n+2)=(1)/(2)-(1)/(n+2)=(n)/(2(n+2))．