设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a4=9，a3+a7=22．（I）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）求证：1S1+1S2+1S3+…+1Sn<34．

Question

设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知a₄=9，a₃+a₇=22．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求证：(1)/(S1)+(1)/(S2)+(1)/(S3)+…+(1)/(Sn)<(3)/(4)．

Answer 1

（1） 依题意，2a₅=a₃+a₇=22，即a₅=11，
又∵a₄=9，
∴公差d=a₅-a₄=2，
∴a_n=a₄+（n-4）d=2n+1；
（2）证明：由（1）可知Sn=n2+2n，
∴(1)/(Sn)=(1)/(n(n+2))=(1)/(2)（(1)/(n)-(1)/(n+2)），
累加得：(1)/(S1)+(1)/(S2)+(1)/(S3)+…+(1)/(Sn)=(1)/(2)(1+(1)/(2)-(1)/(n+1)-(1)/(n+2))<(3)/(4)．