已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和．（I）设S3＝32，S6＝2116，求an；（II）若S4，S10，S7成等差数列，证明a1，a7，a4也成等差数列．

Question

已知数列{a_n}是等比数列，S_n为其前n项和．
（I）设S3＝(3)/(2)，S6＝(21)/(16)，求a_n；
（II）若S₄，S₁₀，S₇成等差数列，证明a₁，a₇，a₄也成等差数列．

Answer 1

（I）设等比数列{a_n}的公比等于q，则由S3＝(3)/(2)，S6＝(21)/(16) 可得
(a1(1−q3))/(1−q)＝(3)/(2)，且 (a1(1−q6))/(1−q)＝(21)/(16)，两式相除解得q=-(1)/(2)，代入其中一式可得 a₁=2．
故通项公式 a_n =2×(−(1)/(2))n−1=(−(1)/(2))n−2．
（II）由S₄，S₁₀，S₇成等差数列，可得q≠1，2×(a1(1−q10))/(1−q)=(a1(1−q4))/(1−q)+(a1(1−q7))/(1−q)．
故有 2q¹⁰=q⁴+q⁷，化简得 1+q³=2q⁶，∴a₁+a₁q³=a₁q⁶，
即 a₁+a₄=2a₇，故a₁，a₇，a₄也成等差数列．