已知方程（x2-mx+2）（x2-nx+2）=0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m-n|=（）A.1B.32C.52D.92

Question

已知方程（x²-mx+2）（x²-nx+2）=0的四个根组成一个首项为(1)/(2)的等比数列，则|m-n|=（　　）
A. 1
B. (3)/(2)
C. (5)/(2)
D. (9)/(2)

Answer 1

设这四个根为x₁，x₂，x₃，x₄，公比为p其所有可能的值为(1)/(2)，(1)/(2)p，(1)/(2)p2，(1)/(2)p3，
由

x1x2＝2

x3x4＝2

得x₁x₂x₃x₄=4，
即(1)/(2)•(1)/(2)p•(1)/(2)p2•(1)/(2)p3＝4，
则p⁶=64⇒p=±2．
当p=2时，四个根为(1)/(2)，1，2，4，且(1)/(2)，4为一组，1，2为一组，
则(1)/(2)+4=m，1+2=n，
则|m−n|＝(3)/(2)；
当p=-2时，不存在任两根使得x₁x₂=2，或x₃x₄=2，∴p=-2舍去．
故选B．