等差数列{an}中，d<0．（1）若|a3|=|a9|，则数列{an}的前几项的和最大？（2）若Sm=Sk，则数列{an}的前几项的和最大？

Question

等差数列{a_n}中，d<0．
（1）若|a₃|=|a₉|，则数列{a_n}的前几项的和最大？
（2）若S_m=S_k，则数列{a_n}的前几项的和最大？

Answer 1

（1）∵等差数列{a_n}中，d<0，且|a₃|=|a₉|，可得a₁+a₁₁=a₃+a₉=0，
∴s11=(11(a1+a11))/(2)=(11(a3+a9))/(2)=0，
由于等差数列的前n项和S_n是关于n的二次函数，它的图象开口向下，对称轴为n=5.5，
和横轴有2个交点（0，0）、（11，0），如图所示：
所以当n=5或n=6时S_n取最大值．
（2）不妨设 m<k，由Sm=Sk可得：a_m+1+…+a_k=0，
分两种情况讨论：
①若m，k同为奇数，则([(m+1+k)-1])/(2)和([(m+1+k)+1])/(2)是两个连续整数．
由于([(m+1+k)-1])/(2)+([(m+1+k)+1])/(2)=m+1+k，
从而a([(m+1+k)-1])/(2)+a([(m+1+k)+1])/(2)=a(m+1)+ak=0，
又d<0，{a_n}是递减的，
从而a([(m+1+k)-1])/(2)>0>a([(m+1+k)+1])/(2)，
故前([(m+1+k)-1])/(2)项和最大．
②若m，k一奇一偶，则((m+1+k))/(2)为整数，
于是a(m+1)+ak=2(a(m+1+k))/(2)=0，
此时，前((m-1+k))/(2)与((m+1+k))/(2)项的和相等且最大．
故前((m-1+k))/(2)与((m+1+k))/(2)项的和最大．